Transformasi Geometri : Memahami Perubahan Bentuk dalam Dunia Matematika

Oleh Diposting pada

Transformasi Geometri

soal transformasi geometri kelas 11

soal transformasi geometri kelas 11 – Transformasi geometri merupakan konsep yang penting dalam matematika, khususnya dalam geometri. Konsep ini membantu kita memahami bagaimana objek-objek geometris dapat mengalami perubahan bentuk, posisi, ukuran, atau orientasi.

Dalam pelajaran matematika tingkat kelas 11, transformasi geometri menjadi salah satu topik yang mendalam dan menarik untuk dipelajari. Artikel ini akan menjelaskan secara lengkap mengenai transformasi geometri, jenis-jenis transformasi, dan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari.

Pengertian Transformasi Geometri

Transformasi geometri adalah suatu perubahan yang diterapkan pada suatu objek geometris dalam bidang atau ruang. Transformasi ini dapat merubah posisi, bentuk, ukuran, atau orientasi dari objek tersebut tanpa mengubah sifat-sifat intrinsiknya. Dalam transformasi geometri, setiap titik pada objek dipetakan ke titik baru sesuai dengan aturan tertentu.

Jenis-Jenis Transformasi Geometri

Terdapat beberapa jenis transformasi geometri yang umum dipelajari dalam kelas 11, di antaranya:

  1. Translasi: Translasi adalah transformasi yang menggeser suatu objek dari satu posisi ke posisi lainnya. Semua titik pada objek akan bergeser dengan jarak dan arah yang sama.
  2. Refleksi: Refleksi melibatkan pencerminan suatu objek terhadap sebuah garis atau bidang. Setiap titik pada objek akan dipantulkan melalui garis atau bidang tersebut.
  3. Rotasi: Rotasi adalah transformasi yang memutar suatu objek sekitar sebuah titik pusat (pusat rotasi) dengan sudut tertentu.
  4. Dilatasi: Dilatasi melibatkan perubahan skala atau ukuran objek dengan faktor tertentu, baik memperbesar (dilatasi positif) maupun memperkecil (dilatasi negatif).

Tranlasi

Minggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama di kelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempat yang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah ke baris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari. Perhatikan perpindahan tempat duduk Candra dan Dimas ini.

Tranlasi

  • Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saat berpindah ini, Candra telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 2 satuan ke atas yang ditulis sebagai

translasi 2

  • Kemudian, Dimas berpindah 2 lajur ke kiri dan 1 baris ke depan. Saat berpindah ini, Dimas telah melakukan translasi 2 satuan ke kiri dan 1 satuan ke bawah yang ditulis sebagai

translasi

  • Misalkan, tempat duduk Candra minggu lalu di titik N(a, b) pada koordinat Cartesius. Dengan translasi

translasi

diketahui tempat duduknya inggu ini pada titik N ’(a-2,b+2).Kalian dapat menuliskan translasi ini sebagai berikut

menuliskan translasi

Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan

ditranslasikan

Maka diperoleh bayangannya

Secara matematis, ditulis sebagai berikut.

Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian peroleh dengan

translasikan

  • Dua buah translasi berturut-turut

Dua buah translasi

dapat digantikan dengan translasi tunggal

  • Pada suatu translasi setiap bangunnya tidak berubah.

Contoh :

Jawaban :

  • a.

  • b. translasi

Artinya artinya memindahkan suatu titik 3 satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikan titiktitik A’, B’, dan C’ dari segitiga ABC dengan translasi T1, kalian memperoleh segitiga A‘B‘C‘ sebagai berikut

  • c.

  • d. translasi titik

Jadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A’B’C’ dengan titik A'(3,5), B'(5,7) dan C'(-3,9) Perhatikan bahwa segitiga yang kalian peroleh pada jawaban c sama dengan segitiga yang kalian peroleh pada jawaban d.

  • Tentukan bayangan lingkaran

Jawab :

Refleksi

Kalian pasti sering bercermin. Ketika bercermin, amatilah diri dan bayangan kalian. Apakah memiliki bentuk dan ukuran yang sama? Amati pula jarak diri kalian ke cermin. Samakah dengan jarak bayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, kalian akan menemukan beberapa sifat pencerminan.

https://ppkn.co.id/

Dari gambar tersebut, kalian dapat mengatakan bahwa:

  • Lingkaran Q kongruen dengan bayangannya, yaitu lingkaran Q’
  • Jarak setiap titik pada lingkaran Q ke cermin sama dengan jarak setiap titik bayangannya ke cermin, yaitu QA = Q’A dan PB = P’ B.
  • Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yang menghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut siku-siku.

Sifat-sifat tersebut merupakan sifat-sifat refleksi.

Matriks yang bersesuaian dengan tranformasi geometri

https://ppkn.co.id/

Matriks yang bersesuaian dengan tranformasi geometri

Matriks yang bersesuaian dengan tranformasi geometri

  • Sifat-Sifat

  1. Dua refleksi berturut-turut terhadap sebuah garis merupakan suatu identitas, artinya yang direfleksikan tidak berpindah.
  2. Pengerjaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang sejajar, menghasilkan translasi (pergeseran) dengan sifat:
    • Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan dua kali jarak kedua sumbu pencerminan.
    • Arah translasi tegak lurus pada kedua sumbu sejajar, dari sumbu pertama ke sumbu kedua. Refleksi terhadap dua sumbu sejajar bersifat tidak komutatip.
  3. Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengah lingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbu pencerminan. Refleksi terhadap dua sumbu yang saling tegak lures bersifat komutatif.
  4. Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang berpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yang bersifat:
    • Titik potong kedua sumbu pencerminan merupakan pusat perputaran.
    • Besar sudut perputaran sama dengan dua kali sudut antara kedua sumbu pencerminan.
    • Arah perputaran sama dengan arah dari sumbu pertama ke sumbu kedua.

Rotasi

https://ppkn.co.id/

  • Keterangan
  1. α + : arah putaran berlawanan putaran jarum jam
  2. α – : arah putaran searah putaran jarum jam
  • Sifat-Sifat

Dua rotasi bertumt-turut mempakan rotasi lagi dengan sudut putar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.Pada suatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.
Catatan:
Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi) dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan sama dan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasi jenis ini disebut transformasi isometri.

Dilatasi

Aini dan teman-temannya berkunjung ke IPTN. Di sana, mereka mengamati miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawat terbang ini mempunyai bentuk yang sama dengan pesawat terbang sesungguhnya, tetapi ukurannya lebih kecil.

Bentuk seperti miniatur pesawat terbang ini telah mengalami dilatasi diperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya. Selain dilatasi diperkecil, terdapat pula dilatasi diperbesar, misalnya pencetakan foto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkan diperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktor dilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil, misalnya k.

  • Jika k > 1 atau k < -1, maka hasil dilatasinya diperbesar
  • Jika -1 < k < 1, maka hasil dilatasinya diperkecil
  • Jika k = ± 1, maka hasil dilatasinya tidak mengalami perubahan

Dilatasi

Aplikasi dalam Kehidupan Sehari-Hari

Transformasi geometri memiliki beragam aplikasi dalam kehidupan sehari-hari, baik dalam dunia nyata maupun dalam dunia digital:

  • Grafika Komputer: Dalam dunia permainan komputer atau pembuatan animasi, transformasi geometri digunakan untuk menggerakkan karakter atau objek, memberikan efek visual, dan menciptakan ilusi pergerakan atau perubahan bentuk.
  • Pemetaan: Dalam pemetaan geografis, transformasi digunakan untuk memetakan bentuk permukaan bumi ke dalam peta datar. Ini melibatkan transformasi kompleks untuk mempertahankan proporsi dan sudut antara wilayah yang berbeda.
  • Desain Arsitektur: Dalam merancang bangunan, transformasi digunakan untuk memvisualisasikan bagaimana suatu bangunan akan terlihat dari berbagai sudut, serta untuk membuat denah yang akurat.
  • Manufaktur dan Rekayasa: Dalam proses desain produk, transformasi geometri membantu dalam mengubah bentuk objek secara virtual sebelum diproduksi secara fisik.
  • Ilmu Kedokteran: Dalam bidang medis, transformasi digunakan dalam pencitraan medis seperti MRI atau CT scan untuk merotasi atau memposisikan citra agar lebih mudah dianalisis.

Kesimpulan

Transformasi geometri adalah konsep matematika yang penting untuk memahami perubahan bentuk, posisi, ukuran, dan orientasi objek geometris. Dalam kelas 11, Anda akan mempelajari berbagai jenis transformasi seperti translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi.

Penggunaan transformasi geometri tidak hanya terbatas pada matematika, tetapi juga memiliki aplikasi yang luas dalam berbagai bidang kehidupan. Dengan memahami konsep ini, Anda akan dapat mengaplikasikan pengetahuan Anda dalam pemodelan visual, perancangan, dan banyak bidang lainnya.

Refrensi Teknologi [DISINI]

Resecent Posts

Posting terkait: